COMMENT DEMONTRER QU'UN THEOREME EST INDEMONTRABLE?

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Comment démontrer qu'un théorème est indémontrable:

 

En mathématiques, si on démontre un théorème alors on le tient pour vrai. Si on le réfute, on le tient pour faux. Mais peut-on vraiment tout démontrer ? Et d'abord à partir de quoi les mathématiciens démontrent leurs théorèmes ? Et comment les démonstrations nous garantissent que les théorèmes sont vrais ?

C'est à toutes ces questions aussi philosophiques que mathématiques que l'on tentera de donner des débuts de réponses en s'intéressant aux théorèmes indémontrables, ces bizarreries mathématiques qui troublent la frontière entre le vrai et le faux.

Mais sommes nous surs qu'il existe des théorèmes indémontrables ? Oui, car des mathématiciens ont démontré qu'il existait des théorèmes indémontrables. Nous essaierons de comprendre comment une telle chose est possible.

Nous nous appuierons dans cette conférence sur l'étude de deux théorèmes indémontrables. Tout d'abord le Postulat d'Euclide, dont les mathématiciens on tentés de donner une démonstration pendant deux millénaires en vain, nous servira de fil rouge pour mieux cerner le concept de démontrabilité. Nous présenterons ensuite un exemple plus récent et qui fait débat parmi les mathématiciens depuis plus d'un siècle: l'hypothèse du continu.